在2026年7月於費城舉行的國際數學家大會上，澳洲數學家 Geordie Williamson 以「人工智能與人類的漫長對話」為題，發表了一場面向公眾的演講。這場演講並沒有把人工智能簡化為一個單純的技術議題，也沒有急於回答人工智能究竟是好是壞。Williamson 希望同時保留兩種看似矛盾、實際上缺一不可的態度：一方面，是對這項技術的驚嘆；另一方面，則是對它可能帶來的深遠影響保持憂慮。

他所驚嘆的，不只是人工智能已經能夠生成流暢文字、編寫程式或回答數學問題，而是支撐這些能力的基本想法竟然如此簡單、如此數學化。我們用大量資料訓練模型，要求它預測下一個符號，然後不斷調整參數，使預測變得更準確。單從這個任務來看，似乎很難想像它最終會產生如此豐富而複雜的能力。更令人驚訝的是，即使這些系統已經取得顯著成果，我們仍然沒有真正理解它們為何有效，以及模型內部究竟發生了甚麼。

然而，Williamson 的憂慮同樣深刻。人工智能可能改變數學這門學科，也可能改變下一代數學家的成長方式。它不但會影響數學家如何工作，還可能動搖人們從智識活動中獲得意義的方式。如果機器能夠迅速給出答案、構造例子，甚至產生證明，那麼人類親自探索、受挫、修正和逐漸理解一個問題的過程，還會保留多少空間？

整場演講正是在驚嘆與憂慮之間展開。它從數學史出發，經過語言模型的基本原理和人工智能參與數學研究的實例，最後回到一個根本問題：數學究竟只是正確結果的集合，還是一種由人類共同進行、追求理解的活動？

數學是一場跨越時間的對話

演講開始時，Williamson 引用了數學家 Barry Mazur 在〈論數學中時間的缺席〉一文中的說法：「數學的基本對話之中，存在一種超越時間的特質。」

數學的確具有一種特殊的時間感。今天的數學家仍然在閱讀幾百年前甚至幾千年前提出的問題；一個古老定理可以在新的語言中重新獲得生命，一種被遺忘的方法也可能在另一個領域中再次出現。數學家並不只是累積答案，而是不斷回應前人的思想，修正舊有觀念，提出新的問題，再把自己的理解交給後來的人。

因此，數學並不是由彼此孤立的成果構成，而是一場延續多個世代的對話。人工智能的出現之所以重要，是因為它似乎正在進入這場對話。問題已經不再只是機器能否計算得更快，而是機器能否提出數學想法、參與證明、影響研究方向，甚至改變數學共同體理解和傳播知識的方法。

這種想像其實並不新鮮。早在1948年，Alan Turing 已經在〈智能機器〉中列出機器可以嘗試學習的領域，包括各種遊戲、語言學習、翻譯、密碼學和數學。Turing 當時提出，可以先不急於製造一部完整模仿成年人的機器，而是想辦法建立一個能夠學習的「大腦」，再為它提供適合練習和成長的環境。數學正是他認為機器可以鍛鍊智能的領域之一。

到了1999年，Tim Gowers 在一次數學會議上進一步想像電腦與數學家合作的情景。他以一段虛構對話展示未來的數學研究：數學家向電腦提出問題，電腦先給出不合要求的答案；數學家加上條件，電腦再建議歸納法、提供例子，並從例子中辨認可能的結構。這並不是把一個完整問題交給機器，然後等待標準答案，而是一種來回互動的探索。

Gowers 當時猜想，數學界或許會經歷一個短暫的「黃金時代」：電腦已經很擅長完成習題和繁瑣的技術工作，卻還不擅長產生深刻洞見。在這個階段，機器可以替數學家檢查例子、尋找反例、驗證引理，使人類把時間集中在更具創造性的部分。

但 Gowers 隨即補充，這個黃金時代即使出現，也不太可能持續很久。機器可能不只會做習題，還可能逐漸掌握數學家視為「洞見」的能力。到了那時，數學家的工作也許會變成學習如何有效使用證明機器，以及替這些機器找到有趣的應用。

近三十年後，這段預測顯得格外接近現實。Williamson 並沒有因此得出簡單的樂觀或悲觀結論。他只是明確說明自己的位置：他希望這場演講以大致相等的分量，呈現對人工智能的驚嘆與擔憂。

從 Shannon 的語言實驗到下一個符號

為了解釋現代語言模型，Williamson 沒有從複雜的神經網絡架構開始，而是回到 Claude Shannon 在1948年發表的〈通信的數學理論〉。

Shannon 曾經設計一系列逐步接近英語的實驗。最簡單的情況，是從字母表中完全隨機選取字母。這樣產生的結果當然只是一串沒有結構的符號。下一步，Shannon 按照不同英文字母實際出現的頻率來選取字母。生成的文字仍然沒有意義，但外觀開始稍微接近英語。

再下一步，他加入兩個字母之間的關係，讓每一個字母的出現取決於前一個字母。之後，他再加入三個字母之間的結構。當模型能夠利用更多前文資訊時，產生的字母組合便愈來愈像真實語言。

Shannon 隨後從字母跳到詞語。最初，每個詞語仍然獨立出現，只保留它們在英語中的一般頻率。接着，他讓下一個詞語依照前一個詞語來選擇。結果依然不是完整而有意義的文章，卻已經呈現出某種英語句子的節奏。Shannon 指出，每增加一層結構，生成結果與普通英語文本的相似程度便明顯提高。

在那個沒有現代電腦的年代，Shannon 需要用極其費力的方法完成這些實驗。例如，他會隨機打開一本書，選取一個字母，再翻到另一頁尋找同一個字母，記錄它後面出現的字母。然後，他再用新得到的字母重複這個過程。如果要處理更長的字母或詞語關係，工作量便會迅速增加。Shannon 因此寫道，繼續構造更高層次的近似當然很有意思，但所需勞動會變得極其龐大。

Williamson 指出，這正是 Transformer 神經網絡試圖解決的問題。

現代語言模型的基本任務，是預測一串符號中的下一個符號。這裡所說的符號通常稱為 token。Token 大致可以理解為詞語，但不一定等於完整單字。它也可能是單字的一部分、標點符號、空格，或其他常見文字片段。一個看似簡單的句子，在模型眼中可能被拆成許多不同的 token。

模型接收一段可能很長的 token 序列，然後預測下一個 token 出現的機率。例如，當模型讀到一個故事的開頭，它需要判斷後面最可能出現甚麼文字；當它讀到一本代數幾何教科書中的證明，它也要預測下一個數學符號、詞語或句子。

Williamson 用 Mary Everest Boole 在1909年出版的《代數的哲學與趣味》作例子。書中寫道，一隻名叫 Genius 的小猴子拿起一顆綠色核桃，咬穿帶有苦味的外皮，直到碰到裡面的硬殼。對語言模型而言，任務就是根據前面的文字預測下一段。另一個例子則來自 Robin Hartshorne 的《代數幾何》。在那裡，模型面對的不是日常敘事，而是投影、態射、分歧和函數域等高度專業的數學語言。

無論是兒童故事還是代數幾何，表面上的任務都是相同的：根據已知序列，預測接下來會出現甚麼。

預測、壓縮與理解

Williamson 特別強調，下一個符號預測並不是一個狹窄或無關重要的任務。在二十世紀的思想發展中，預測、壓縮與理解之間一直存在豐富而深刻的聯繫。Shannon、Kolmogorov、Solomonoff 和 Hutter 等人的工作，都從不同方向觸及這種關係。

如果一個系統能夠準確預測資料接下來的變化，它似乎已經掌握了資料中的某些規律。如果它能夠利用這些規律縮短描述、去除重複或重建缺失資訊，那麼預測便與壓縮相連。當一個系統可以在不同情境中持續作出有效預測時，人們自然會追問：這是否也代表某種程度的理解？

預測的重要性並不只存在於語言模型之中。神經科學中的預測編碼，把大腦描述為不斷預測感官訊息並修正誤差的系統；工程中的 Kalman filtering，利用先前狀態和新觀測來估計動態系統；電腦處理器中的推測執行，則提前猜測下一步可能需要進行的運算。

這些例子都顯示，如果一個系統所在的世界由語言、訊號或狀態變化構成，那麼預測未來可能是掌握這個世界的關鍵。因此，下一個 token 預測看似簡單，背後卻可能連接到「理解理解本身」的問題。

Transformer 如何學習

在演講的示意圖中，一串 token 被送進 Transformer 神經網絡。網絡根據前面的 token，分別嘗試預測序列中的下一個 token。模型內部存在非常大量的參數，Williamson 把它們形容為許許多多可以調整的「旋鈕」。

訓練的過程，就是反覆比較模型的預測與實際文字，然後利用微積分調整這些旋鈕，使下一次預測有所改善。這個過程在大量資料上重複進行，模型的表現便逐漸改變。

演講展示了不同訓練階段可能產生的文字。在最初階段，輸出只是一串雜亂詞語，缺乏語法和連貫性。經過一萬個訓練步驟後，句子開始呈現基本結構。到了五萬個步驟，模型已經能寫出自然、完整並帶有畫面的句子。現代模型甚至可以在數百萬個 token 的上下文中保持一定程度的連貫。

這種能力隨着模型規模、資料量和計算量增加而提高，形成所謂 scaling laws。研究者發現，模型的測試損失會隨着參數、資料和計算資源增加，以相對穩定的方式下降。這些規律讓研究者能夠預測更大模型可能達到的表現，也成為人工智能快速發展的重要基礎。

但 Williamson 同時引用 scaling laws 研究中的提醒：研究者目前仍然沒有對這些規律建立穩固的理論理解。換言之，我們知道某些關係反覆出現，知道擴大規模通常會改善模型，卻未必知道這些經驗規律為甚麼成立。

Transformer 本身也留下許多數學謎團。為甚麼它應該採用現在的形狀？為甚麼它能夠在統計學中呈現傳統直覺難以解釋的現象？大量參數的網絡內部究竟在做甚麼？Scaling laws 為甚麼如此穩定？

人工智能已經展現強大能力，但我們對其運作原理的理解並沒有同步增長。這正是 Williamson 所說的「驚嘆」之一：簡單的訓練目標產生了遠超預期的能力，而這種成功本身又形成了一個蓬勃發展的數學研究領域。

人工智能如何協助數學研究

演講接着進入最具體的部分：大型語言模型如何幫助數學家推進真正的研究問題。

Williamson 介紹了一個關於 Bruhat graph 中超立方體的問題。這項研究從一個規模龐大、具有高度結構的圖開始。對一般聽眾而言，這裡的「圖」可以理解為網絡；對數學家而言，它是由對稱群及其換位生成元構成的 Cayley graph。網絡中包含許多正方形、立方體以及更高維的超立方體，而研究者希望了解可以在其中找到多大的超立方體。

由於問題具有高度結構，研究團隊預期，一個好的答案或許能夠用程式表達。他們採用了類似 FunSearch 和 AlphaEvolve 的方法。大型語言模型先提出一段程式，系統測試程式表現，再讓模型嘗試其他版本。大部分嘗試都會失敗或表現不佳，但系統可以自動重複整個過程，並把較有希望的方案加入新的提示中，使後續搜尋建立在先前結果之上。

演講展示了給 AlphaEvolve 的提示。研究者要求系統扮演計算代數和組合最佳化方面的專家，在對稱群中尋找具有盡可能大不變量的排列組合。提示最後甚至加上一句鼓勵：「你可以做到的！我相信你！」

系統的「思考」有時帶有相當戲劇性的語氣。它認為目前方案雖然不錯，卻過於正常、過於可預測，只是在已知構造附近進行局部搜尋。於是它決定放棄部分既有方法，嘗試一個更加瘋狂的方向。它提出一種具有分形或遞迴特徵的構造，把排列中的數字分組，再遞迴處理不同部分，最後以特定方式重新組合。

經過一夜運算，AlphaEvolve 找到了一個有趣的方案。研究團隊立刻感覺到，這段程式並不是偶然取得好結果，而是捕捉到某種真正的結構。然而，程式本身並沒有告訴他們這個結構的數學意義。

接下來的工作重新回到人類數學家手中。他們花了數天研究程式，逐步理解每一個遞迴步驟的作用，最後發現程式正在利用一個出乎意料的數論想法，構造出一個大型超立方體。系統產生的是程式和例子；數學家則把它「反編譯」成概念、結構和定理。

這個例子清楚展示了人工智能與數學家的合作方式。人工智能能夠快速測試大量方向，包括人類未必會優先考慮的奇怪構造。它不一定知道自己的方案為甚麼有效，也不一定能夠把結果轉化為數學家可以接受的解釋。但它可能找到一條過去沒有被看見的道路。人類則需要辨認程式背後的結構，將它放回既有數學知識中，建立證明，並理解它為甚麼成立。

當結果出現得愈來愈快

Williamson 隨後列出最近數月人工智能在數學方面引起關注的事件，包括與 Erdős 單位距離猜想和 Jacobian 猜想有關的成果。他強調，這些是最引人注目的例子，但並不是孤立事件。

演講亦展示了一份長達125頁、經過編輯的人工智能推理記錄。從早期頁面到後期頁面，系統不斷提出估計、發現問題、修正機制，再檢查代數數、投影、分母、類數界、Frobenius 條件、實嵌入、根判別式和 packing 等不同部分能否同時成立。這些記錄顯示，人工智能的數學工作不一定只是瞬間吐出一個答案，也可能包含很長的搜尋和修正過程。

然而，當整個過程以數百頁機器文字的形式出現時，人類數學家應該如何閱讀它？即使最後結果正確，數學家是否真正經歷和理解了產生結果的道路？如果人工智能完成了大部分探索，人類只是檢查最後證明，那麼數學研究對研究者本人的意義會否改變？

數學家 Zhiwei Yun 的話直接表達了這種感受：「作為一名數學家，我關心的不只是最後的結果，也關心通往結果的旅程。人工智能正在摧毀我的旅程。」

Peter Scholze 的批評則指向更廣泛的層面。他表示，自己已經認為人工智能對人類、民主和地球帶來強烈的負面影響。Williamson 把這些聲音放在人工智能協助研究的成功案例之後，使演講從技術的驚喜轉入關於人的憂慮。

這不是一個容易回答的問題。未來的變化可能十分艱難，而能力更強的系統很可能繼續出現。Williamson 因此提出四個方向：承認這是一個劇烈變動的時期；預期系統會變得更強；個人和共同體都必須有意識地作出選擇；人類的理解和意義必須被保留下來。

我們並不真正知道系統有多強

評估人工智能的能力並不簡單。Williamson 指出，困難和智能都是高維度的概念。一個模型可能在某些問題上表現驚人，卻在另一類看似簡單的問題上失敗。把所有能力濃縮成一個分數，往往會掩蓋重要差異。

我們目前對模型能力的理解仍然很有限，而人工智能實驗室之間的宣傳、保密和競爭，使判斷更加困難。不同公司會強調不同評測結果，新模型發佈速度很快，基準本身也可能迅速失去辨別能力。

演講展示了 First Proof 計劃的評測結果。這項計劃試圖用嚴格、可靠的方法測試人工智能處理研究數學問題的能力。不過，它仍然是一項相當新的工作。研究數學的問題往往難以標準化，答案也不一定能夠自動評分，因此，建立一個真正能夠反映研究能力的基準，本身就是一項挑戰。

Williamson 亦展示了其他能力趨勢。METR 的圖表以模型能夠可靠完成的軟件任務時間長度為指標，顯示較新系統能處理愈來愈長的任務。FrontierMath 的高難度數學評測則展示不同模型在專家級問題上的進展。另一張圖表顯示模型在一個複雜網絡任務中，隨着可用 token 增加而完成更多步驟。

這些基準並不等同於數學研究能力，但它們共同指向一個趨勢：人工智能系統正在變得更有能力，而且可以持續工作的時間正在延長。人們不能假設今天看到的限制會長期保持不變。

數學共同體必須作出選擇

面對這些變化，Williamson 認為數學界必須更加有意識地思考自己的選擇。未來將出現許多數學家過去並不習慣回答的問題。

第一個問題涉及資源。訓練和運行大型人工智能系統需要大量計算資源。甚麼程度的資源使用才算合理？誰有權作出決定？研究的重要性應如何與成本比較？如何避免只有少數富有機構能夠使用最強系統？

演講引用 Charles Sims 在1978年討論 Monster group 構造時的一段文字。Sims 當時估計，相關計算在技術上或許可行，但在經濟上尚未合理。他懷疑數學共同體是否會認為這個問題重要到值得佔用大型電腦中心接近一年的時間。數學家早已需要在研究價值與計算成本之間作出判斷，只是人工智能令這個問題再次以更大的規模出現。

第二個問題是公平使用。如果最強模型只掌握在少數公司、國家或大學手中，數學研究的機會和方向可能受到資源分配影響。如何維持相對公平的使用機會，將成為共同體無法迴避的問題。

第三個問題是數學界與產業的關係。最先進的人工智能系統主要由大型企業建立，而數學研究傳統上依賴公開交流、可檢查的論證和長期累積。當研究者需要依靠不透明的商業系統時，數學共同體應該建立甚麼關係和界線？

第四個問題涉及出版。如果人工智能參與提出猜想、搜尋例子、產生證明或改寫論證，論文應如何描述它的角色？數學界應如何評估由機器產生、但可能非常冗長的證明？出版模式又如何兼顧正確性、可理解性和人類貢獻？

Williamson 提到《萊頓人工智能與數學宣言》。這份宣言由數學家和人工智能研究者共同推動，並獲得國際數學聯盟支持，呼籲數學界正視人工智能帶來的挑戰。演講對此作出的判斷十分直接：這場對話既重要，也早已應該開始。

證明與理解並不相同

在演講最後一部分，Williamson 把焦點從人工智能能力轉回數學的本質。他提出，數學一直與理解密不可分。數學家所重視的，不只是最後完成的成果，也是進行數學的活動本身。

他引用 Charles Dodgson 在《歐幾里得與他的現代對手》中的說法：「我們在這裡需要的是 energeia，而不是 ergon。」Energeia 指活動、實際運作或正在成為的過程；ergon 則指完成的產品或結果。數學的價值不只存在於已經寫下來的定理，也存在於推理、試驗、修正、解釋和逐漸理解的活動中。

然而，理解很難衡量。證明相對容易評估：一個論證是否符合邏輯？每一步是否成立？結論是否由假設推出？相比之下，我們很難客觀判斷一個人是否真正理解某個概念。

因此，數學界在幾個世紀以來，逐漸把證明當成理解的一種可衡量替代品。Williamson 引用 van der Waerden 對數學史的敘述：Gauss 認為數學命題只有在附有完整證明時才具有價值，而 Lebesgue 則認為這種嚴格觀點「極不公正」。兩者之間的張力顯示，正確證明與深刻理解從來不是完全相同的事情。

在過去五十年中，證明和理解已經逐漸分離。四色定理是其中一個著名例子。Appel 和 Haken 的證明依賴電腦檢查大量情況，引發數學界長期討論。爭議的核心並不主要是人們是否相信定理為真，也不只是程式是否正確，而是人們仍然渴望獲得一種人類可以掌握的理解。

William Thurston 曾指出，這場爭議反映了數學家不只希望知道定理為真，也希望在正確證明之外理解證明。人工智能可能使這種分離進一步加速。系統可以產生正確而極其複雜的論證，但人類未必能從中看到核心原因。未來幾年，證明與理解之間可能出現更加徹底的分離。

數學家現在可以做甚麼

面對這種局面，Williamson 最後提出幾個方向。

首先，數學家應該強調，自己的工作是提供人類理解，而不只是提供證明。證明仍然重要，但如果它不能幫助人們掌握概念之間的關係、看見結果成立的原因，數學的核心價值便可能受到削弱。

其次，人工智能可能誘惑人們放棄理解。當答案能夠迅速取得時，花時間重建論證、尋找簡潔解釋或探索其他方法，似乎會變得不那麼必要。Williamson 認為，數學家應該抵抗這種誘惑。

第三，數學共同體應該鼓勵能夠增加人類理解的活動。這不只是個人的選擇，也涉及整個共同體如何評價工作。數學家需要繼續傳播概念、解釋證明、建立不同領域之間的聯繫，使成果成為共同知識，而不是停留在機器能夠驗證、但人類難以吸收的輸出之中。

最後，人工智能也可能提高數學家的志向。既然機器可以協助搜尋大量可能性、處理繁複計算並提出意外構造，人類便可以重新思考哪些問題可能被解決。保留理解並不等於拒絕人工智能；相反，演講所提出的方向，是一方面利用它擴大數學探索的範圍，另一方面堅持把結果轉化為人類能夠理解和共享的數學。

演講最後引用 Thurston 的一句話：

「數學只存在於一個有生命的數學家共同體之中；這個共同體傳播理解，並為新舊思想注入生命。」

這句話回應了演講開頭所說的漫長對話。數學之所以能跨越時間，不只是因為定理被保存下來，而是因為一代又一代的人重新閱讀、重新解釋、重新證明，並把思想傳遞給其他人。數學的生命不只存在於結果之中，也存在於共同體如何理解這些結果。

人工智能已經開始參與這場對話。它可以預測文字、生成程式、搜尋結構、提出構造，甚至協助產生證明。它的能力令人驚嘆，而我們對它的理解仍然有限。它可能使數學家完成過去難以想像的工作，也可能改變人類經歷數學、學習數學和從數學中尋找意義的方式。

因此，真正的問題並不只是人工智能能否做數學，而是當人工智能愈來愈能做數學時，人類希望數學成為甚麼。Williamson 的回答並不是拒絕技術，也不是把所有希望寄託於技術。他所強調的是，在系統能力不斷增長的同時，人類的理解與意義必須繼續存在。

人工智能可以進入人類的漫長對話，但這場對話是否仍然具有生命，仍然取決於數學家如何理解思想、分享思想，以及共同賦予思想意義。