在 2026 年國際數學家大會的公開演講〈人工智慧時代的數學〉中，陶哲軒並沒有把焦點放在「AI 究竟有多強」，也沒有試圖預測人工智慧何時能夠取代數學家。相較於技術能力的競賽，他更關心另一個根本而迫切的問題：假如人工智慧在不久的將來，確實能夠完成相當一部分研究層級的數學工作，數學界應該如何回應？我們又應該用甚麼標準，判斷人工智慧所帶來的究竟是真正的數學進步，還只是數學產出的急速增加？

這個問題不能單靠比較模型表現或計算成功率來回答。它要求數學界重新思考自己的目標、制度與價值，並正視一個長期被擱置的問題：數學研究究竟是為了產生更多答案，還是為了建立能夠由人類共同理解、運用和傳承的知識？

一場關於數學價值的「基礎危機」

陶哲軒首先回顧二十世紀初的數學基礎危機。在此之前，數學家長期依靠相對「素樸」的方式處理集合、數、無限與公理等基本概念。這種做法在很長一段時間內運作良好，因此許多基礎問題被留給哲學家討論，實際從事研究的數學家則可以專注於定理、計算與理論建構。

然而，羅素悖論和哥德爾不完備定理等發現，迫使數學家重新檢視原本隱含在日常實踐中的假設。那是一段充滿動盪與爭論的時期，但危機最終產生了極具價值的成果：數學界逐步建立起更明確、更嚴謹，也更為標準化的基礎框架。這套框架或許仍有改進空間，卻已經歷長期而嚴格的考驗，成為現代數學得以穩定發展的共同環境。

陶哲軒認為，人工智慧的出現可能正在引發另一場類似的危機。這一次受到挑戰的，不是數學的邏輯基礎，而是數學界的價值與實踐方式。我們過去習以為常的研究文化、評價標準、出版制度和人才培養模式，都可能因為 AI 的介入而需要重新檢討。

因此，數學界面對的不只是一項新工具，而是一個關於自身定位的問題：如果「產生證明」不再是稀缺能力，數學家的工作價值應該如何理解？如果問題可以更快地被解決，數學進步又應該如何衡量？

這並不是一個純粹的數學問題，而是一個後設數學問題，同時帶有政治、倫理與文化層面的意義。

先暫時假設 AI 真的能做研究數學

所有關於數學界未來的討論，都會受到一項不確定因素影響：人工智慧究竟能夠做到甚麼？

陶哲軒把相關預測概括為「AI 能力猜想」。這並非單一而精確的命題，而是一系列強弱不同的猜想。其大意是：在不久的將來，某些 AI 工具可能在某種成本、某種程度的人類監督，以及某個非平凡的成功率之下，完成部分研究層級的數學任務，並達到一定的正確性與品質。

不同版本的猜想，可以對「不久的將來」、「部分任務」、「合理成本」、「成功率」和「品質」作出不同解釋。如果連最弱的版本也不成立，數學界或許可以把人工智慧視為影響有限的工具，大致維持原有的工作方式。但如果較強的版本成立，數學界便很難在不作任何調整的情況下繼續運作，尤其當我們仍把「盡可能解決更多未解問題」視為首要目標時。

目前已有許多支持或反對 AI 能力猜想的案例，但這些證據大多並非在嚴格受控的科學條件下取得。公開報導可能受到選擇性呈現、商業誘因及未披露成本的影響，某些關鍵變數也未必完全公開。因此，個別成功或失敗的例子，都不足以結束這場爭論。

陶哲軒提到 First Proof 的受控測試。在第二批測試中，四套前沿 AI 系統嘗試解答十道全新的研究層級問題，結果其中七題至少由一套系統給出了達到可發表水準的解答。每題所需的運算成本約為十至一千美元，結果也由相關領域的專家評估其正確性與表述品質。

不過，陶哲軒並不打算在這場演講中證明 AI 能力猜想是否成立。他採取的是一項條件式的「工作假設」：請聽眾暫時假設，人工智慧很快就能以合理的成功率、品質、成本與人類監督，完成相當比例的研究層級數學工作。

這項假設並不要求人們相信、接受或歡迎這種未來。它只是把能力爭論暫時放在一旁，讓我們能夠進一步追問：假如這一切真的發生，數學界究竟應該做甚麼？

數學研究真正追求的是甚麼？

一旦接受上述工作假設，另一個更深層的問題便浮現出來：數學研究的目標究竟是甚麼？

數學研究顯然不只有一項目的。它可以解決純數學和應用數學中的未解問題，建立新的理論與方法，幫助我們理解周遭世界；它也負責培養下一代數學家，維繫一個能夠長期合作與交流的共同體，擴充人類共享的數學知識，並創造具有持久美學價值的作品。

過去，這些目標大致彼此一致。解決一個重要問題，往往會帶來新方法、新概念和新理論；研究成果也可能成為訓練學生、促進合作及推動其他領域發展的基礎。因此，數學界可以用少數容易觀察的成果，例如發表論文或解決問題，作為衡量整體進步的近似指標。其他較難量化的價值，則可以繼續保留在共同體的默契之中，不必逐一明確說明。

人工智慧卻可能打破這種長期存在的正相關關係。

古德哈特定律指出：「當一項衡量指標成為刻意追求的目標時，它便不再是一項良好的指標。」如果「已解決問題的數量」成為 AI 系統被要求最大化的目標，它或許能迅速增加答案和證明的數量，卻未必同時促進數學理解、理論建構、人才培養、共同體發展、正確歸因或美學價值。

換言之，人工智慧可能使原本互相配合的數學目標開始分歧。我們可以得到更多結果，卻未必得到更多真正被理解的數學；可以更快地完成證明，卻未必建立更成熟的理論；可以增加論文產量，卻未必增強數學共同體吸收和運用知識的能力。

因此，數學界不能只問 AI 能否提高產出，還必須先釐清這些產出究竟服務於哪些目標。

一個證明不能只停留在「正確」

陶哲軒以數學研究中的「解決問題」為例，說明為何看似簡單的目標需要不斷修正。

最初，我們或許會把目標表述為：「盡可能解決更多未解問題。」但即使在現代 AI 出現之前，數學界早已面對大量聲稱解決重大問題的錯誤證明。黎曼猜想等著名問題，尤其經常吸引錯誤的解答。因此，只計算收到多少份「答案」，顯然無法衡量實質進展。

目標於是必須加入驗證：不但要產生證明，還要確認證明正確。

人工智慧與形式化證明技術，已經開始加速證明的生成和驗證。透過 Lean、HOL 等證明助理語言，部分數學論證可以被轉換為形式化內容，再由電腦逐步檢查其邏輯正確性。若陶哲軒的工作假設成立，這兩個環節的速度都將繼續提高。

然而，即使一份證明已通過形式驗證，新的問題仍然存在：如果 AI 生成了一篇極為冗長的證明，卻沒有任何人——甚至包括最初要求 AI 解題的人——真正理解其核心論證，那麼我們是否已經完成了數學研究的任務？

形式驗證可以告訴我們推理是否符合指定的規則，卻不能自動保證數學共同體已經理解這項結果。因此，目標還必須加入另一個環節：證明不但要正確，也必須能夠被清楚表達，讓其他數學家閱讀、檢查和掌握其中的關鍵思想。

完美的文字不等於良好的論證

現有 AI 工具在證明表述上的表現相當矛盾。一方面，它們產生的文字通常拼字正確、文法流暢、格式整齊，表面上甚至近乎無可挑剔。另一方面，它們經常花費大量篇幅解釋例行而簡單的內容，卻迅速帶過真正困難、創新或需要深入說明的部分。有時候，它們也未能指出新結果與既有文獻之間的關係，或提供足以引導讀者理解全局的高層次概述。

即使 AI 未來能大幅改善表述能力，論證也可能被「過度最佳化」。一篇文字過分平滑的證明，可能把例行計算與核心突破寫得同樣輕鬆，使讀者無法察覺哪些地方需要停下來仔細思考。

在人類撰寫的證明中，作者曾經感到困難的地方，通常會保留某種自然的阻力。論述可能變得更謹慎，解釋可能更細緻，符號選擇和段落安排也可能反映作者探索問題時遇到的障礙。這些痕跡會提醒讀者：這裡是論證的關鍵，需要放慢速度。

過度潤飾的 AI 文字，則可能同時消除不必要的障礙和具有提示作用的自然阻力。結果是證明看起來更流暢，讀者卻未必因此更容易學會其中的重要思想。在這個意義上，人類表述中的某些不完美，反而可能對理解有所幫助。

正如 William Thurston 所強調的，數學研究並不是為了完成某種定義、定理和證明的生產配額。衡量數學成功的標準，應該是我們的工作能否使人們更清楚、更有效地理解和思考數學。

從正確證明到共同知識

即使一篇證明正確而且寫得清楚，它仍未完成整個數學過程。一項成果如果要真正影響更廣泛的領域，還必須被數學共同體接受、消化和運用。

其他數學家需要閱讀這項結果，檢查它與現有理論是否一致，理解它與既有文獻的關係，並把新的方法納入自己的研究。作者可以透過良好表述、清楚說明研究動機，以及分享解題過程中的洞見，協助共同體完成這種消化。但目前的 AI 系統往往無法透明呈現自己的問題解決過程；對於內部運作不公開的商業模型而言，這個問題尤其明顯。

研究成果還必須經過編輯與審稿人的評估，才能逐步獲得共同體的信任。這個過程本質上是緩慢而且以人為核心的。良好的寫作可以促進接受，但作者及其使用的 AI 工具，不能單方面把「共同體接受」最佳化出來。是否相信、重視並採用一項結果，最終仍是外部數學共同體的判斷。

發表也不是證明的最終狀態。真正重要的結果還需要經過長期整理，被納入綜述、參考資料與教科書，並傳授給下一代學生。只有到了這個階段，個別證明才會逐漸成為該領域的標準理論。

因此，一項數學成果的完整生命週期可以表述為：

未解問題 → 產生證明 → 驗證證明 → 清楚闡述 → 發表與接受 → 共同體消化 → 納入經典理論

越接近後面的階段，所需時間通常越長，也越難依靠人工智慧單獨完成。然而，這些階段恰恰最有價值。只有當一項結果被充分消化並融入成熟理論，它才能穩定地支援後續研究、教育和應用。今天 AI 在數學上的能力，也有賴於人類數學家過去數百年所建立、整理和傳承的經典理論。

從證明稀缺進入證明過剩

如果 AI 大幅提高證明生成的速度，而驗證、闡述、審查、消化和理論整理等環節仍然主要依靠人類，整個數學知識生產流程便會出現陶哲軒所說的「阻抗不匹配」。

大量 AI 生成的證明可能堆積起來，等待專家驗證；已經通過驗證的證明，又可能等待有人把它們改寫成真正可讀的論述。即使 AI 也能協助完成寫作，大量正確而且表面上清楚的論文仍可能湧入期刊，使現有的編輯與同行評審制度不堪負荷。即使這些論文最終全部發表，數學共同體也未必有足夠時間閱讀、比較、吸收和整理其中的結果。

陶哲軒把這種情況稱為「證明消化不良」。數學可能從一個「證明稀缺」的時代，迅速進入「證明過剩」的時代。屆時，限制數學發展速度的因素將不再只是能否找到證明，而是數學界有沒有能力判斷哪些結果重要、哪些證明值得閱讀，以及如何把分散的成果整合成可以理解和傳承的知識。

在這種環境中，最珍貴的工作可能逐漸從「生成證明」轉向「消化證明」：解釋核心思想、核對文獻來源、評估結果的重要性、審查論證、整理不同方法之間的關係，並把零散成果轉化為穩定而具有結構的理論。

重新調整數學界的責任與評價標準

面對這種轉變，陶哲軒支持《萊頓人工智慧與數學宣言》所倡議的基本方向。研究者應該透明披露大型語言模型、機器學習系統、證明助理及其他計算工具的使用方式，讓讀者、編輯與審稿人知道自動化工具在研究過程中扮演了甚麼角色。

透明披露並不會把責任轉移給工具。即使論文使用了人工智慧，人類作者仍須對論證的正確性與充分性負全部責任，也必須確保相關文獻的引用完整而準確。AI 在歸因方面存在已知限制，因此作者更有義務主動追查思想來源，並妥善肯定促成新結果的既有工作。如果無法確定適當的歸因，也應在論文中明確說明，而不是假裝問題不存在。

使用 AI 準備論文，也不應把額外負擔轉嫁給審稿人。作者應使自己的工作更容易被檢查，提供精確而完整的參考資料，並在適當和可行的情況下附上形式化證明。

陶哲軒提出一項簡明而有力的判準：如果一篇論文的作者不能以專家水準清楚講解自己的結果，不能令人信服地說明論證為何正確，也不能妥善交代結果與既有工作的關係，那麼這項結果便不應發表。

這項原則意味著，數學界需要重新調整自己的評價標準。我們不應只獎勵證明的生成，也不應過度強調誰是「第一個」解決問題的人。論證闡述、同行評審、文獻整理、共同體消化和理論經典化，都應獲得更高的重視。

這些活動或許不像解決著名難題那樣引人注目，卻是數學共同體不可或缺的工作。它們把個別數學家的成就，轉化為整個領域可以共享、使用和延續的進步。

在不同領域建立不同的使用原則

人工智慧不會只影響問題解決和論文發表。教學、指導、招聘、研究資助與公共溝通，也都需要接受類似的目標與價值分析。

不同場合未必適合採取同一種政策。在教育與訓練中，人類學習數學的過程本身具有不可取代的價值。學生必須親自經歷計算、推理、嘗試、失敗和修正，才能建立真正的數學能力。因此，在某些教育環境中，數學界可能需要特別強調工作的「人類面向」，並嚴格限制 AI 工具的使用。

在另一些研究環節中，數學家則需要主動探索 AI 的用途，並按照自己的專業標準制定最佳實務。與其被動接受科技公司所設定的工作模式，數學共同體更應自行界定人工智慧應該如何納入研究流程，以及哪些責任始終必須由人類承擔。

數學家也有責任參與公共討論，協助社會理解 AI 輔助成果的真正深度、難度與重要性。尤其當相關成果涉及高度專門的領域時，只有具備相應知識的研究者，才能準確評估那些關於突破與能力的公開宣稱。

人工智慧迫使我們回答：數學究竟為了甚麼？

人工智慧帶來的最大挑戰，或許不是機器能否證明更多定理，而是它迫使數學界清楚說明，數學研究真正重視的是甚麼。

如果數學的目標只是增加已解問題的數量，那麼更快速、更便宜的證明生成似乎必然代表進步。但如果數學還重視理解、解釋、教育、共同體、正確歸因、美學價值，以及知識的長期傳承，那麼證明數量便不能成為唯一標準。

一項結果只有在經過驗證、清楚闡述、共同體接受和長期消化之後，才真正成為數學的一部分。正確證明是這個過程的核心，卻不是整個過程的終點。

因此，數學界不能只討論「AI 能做到甚麼」，還必須公開而誠實地討論「我們希望數學成為甚麼」。能力問題與價值問題必須同時面對；如果只處理前者，數學界便可能在證明數量急速增長之際，失去對真正目標的掌握。

然而，這場動盪未必只是一場危機。二十世紀初的基礎危機，最終促使數學建立了更清楚、更嚴謹的共同框架。今天的人工智慧挑戰，也可能迫使數學界把長期隱含的價值明確表達出來，重新設計研究、出版、教育與評價制度。

如果數學共同體能夠共同進行開放而誠實的討論，人工智慧時代便不一定意味着人類數學價值的削弱。它也可能成為一次重新認識數學、鞏固共同體，並建立更成熟、更具韌性之研究文化的契機。