話說最近網上傳出，科大數學的某個課程中期考的平均分為F，引來大家熱烈討論。可能是批評修讀這門課程的同學水平不足，又或者指責數學系編寫考題太過艱辛，過分挑戰同學的數學能力等等。從自己聽來的消息，所討論的科目為一年級同學所收的第二們微積分課（MATH1014），內容大致上為學習一些積分的技巧，和序列數列的收斂性等等。自己並沒有教授過這門科目，又沒有看過考試題目和教授的筆記和課堂，沒有辦法評論。所以這篇文章的目的並不是嘗試解釋這件事情，也沒有嘗試為學系和教授給出一個說法，更加沒有需要我去解決這個問題。只是希望根據自己的經驗講一下以往教授微積分科目時候所碰到的一些故事。

回想以往的教學經驗，針對着本科生一些入門基礎課程，也做過助教（Teaching Assistant），回來科大以後亦都曾經試過負責教授一個「加速版」的微積分科目。還在科大修讀碩士時，曾經有一個學期幫忙批改數學系多元微積分課程的作業。到了美國修讀博士時，也曾做過一門初等微積分科目（Precalculus）的助教，每星期都要跟同學上輔導班，幫忙一下他們的功課等等。這門初等微積分的程度可能是從函數開始，到limit為止，並不會真正接觸到微積分。同學們的背景包羅萬有，大部份對數學都是敬而遠之，普通加減乘除還是需要運用計算機。要知道他們所運用的計算機並不是香港公開考試規定的那些，而是Taxes Instruments。這部「計算機」嚴格來說已經差不多是一部裝了MATLAB的電腦，它有繪圖功能，可以解決線性代數問題，甚至乎微分方程問題。你們可能想，他們有着這樣子的一部「電腦」來考試，課程對他們來說根本沒有任何問題。可是，實際上，他們根本不知道如何運用這一把「屠龍刀」。應該運用計算機那一個功能解決那一個問題，他們根本完全沒有任何概念。

記得不知道哪裏聽來的一個「笑話」，

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學生說：「計算機運算上出了點錯誤，可能有點問題。」

「為什麼這樣說呢？」助教疑惑着。心想，這麼厲害！竟然找到上市公司儀器的一個錯漏。

「你看一下」，螢幕上顯示着1，「我已經按下這個平方根的符號，但是計算機並沒有任何反應。」他不停按不停按，可是顯示着的數字並沒有任何改變。

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聽到這個故事時還是有點驚訝，猜想自己並沒有嘲笑的意味，反而是不確定故事的真偽。是朋友們編造出來的故事，還是真的見到同學們有這個困惑。雖然不是說朋友是這樣子，但無可否認的是，自己確實聽過某部份助教，甚至乎教授，還是會針對同學們數學上的弱點，加以批評，甚至嘲笑。無論是當面的指出他們的錯處，還是在背後跟朋友分享這些「奇聞異事」，他們都沒有嘗試了解同學們為什麼會遇到這樣的錯誤。

如果是我碰到上面的這個關於計算機錯誤的事情，我會如何處理呢？當下可能也會困惑一會，不知道如何作出反應。經過這麼多年的回想和經驗，我希望自己可以「保持冷靜」，千萬不可以作出任何一點太過分的反應。要馬上嘗試理解為什麼同學們會有這個「誤會」。同學們有這個錯覺，應該是由於他們以往在運用這個按鍵時，螢幕上顯示的數字都會改變，起碼他們知道這個功能是會將數目字的數值作出改變。當他們看到輸入的和經過運算後的都是同一個數字，就會有點摸不着頭腦。覺得自己看到了一個魔術，碰到了儀器出錯的狀況。

其實做數學研究的人，都應該喜歡碰到這個情況。如果你能夠做出一條定理，結論和自己的直覺有點不一樣，這個其實應該是開心的事情。我們做應用或者計算數學的，如果你能夠設計出一個解決數學問題的方法，無論是速度或者是準確度都跟自己想像的進步很多，這不也是像在看一場魔術表演的感覺嗎？

所以同學們有這個錯覺，可能是他對這個符號所作的運算並沒有掌握。可能我的反應，應該是首先會附和一下同學，「哦，為什麼這樣子呢？讓我試一下。」然後我會輸入0，在他面前按幾下平方根的符號。同學們可能會驚訝一下，問為什麼。那樣我就成功吸引了他的注意，我就可以開始解釋到底發生什麼事，講一下平方和平方根，也講一下一元二次方程式的解法等等。當然這個故事的下半還是我自己的幻想，當真實碰見這樣子的情況，我還是可能會被同學殺過一個措手不及，不知如何反應。如何在真實情況下給予同學一個滿分的反應，還是需要一點經驗的累積。有時自己還是會覺得沒有太掌握這些技巧。

當然那個基礎微積分的經驗有點太過特殊，那一年做過以後，就沒有機會再教導這些太基礎的科目（希望不是我教得太差！）。回來科大以後，剛開始教的還是一門「加速版」的微積分科目（那時的課程編號為三個數字的MATH021，然後更改為MATH1018）。由於那個時候大學還是三年制，同學們第一年已經需要修讀多元微積分，不要說初等微積分，現今四年制內第一年的兩門微積分科目在那一個年代可能在高中課程裏面已經教授，不需要在大學裏面花一年時間學習。當然那個年代，還是有可能有一些並沒有修讀這些微積分的同學在理學院或者工學院，所以我們還是會有一門「加速版」的微積分科目作為一個保底，希望同學從冇到有，用一個學期的時間把這些微積分入門技巧通通掌握。如果用現在的課程去比較，就可能是將現在四年制同學的兩門微積分加起來用一個學期時間加速的把它完成。情況有點像現在的MATH1020，同學們如果可以做學分轉移，在入學的時間證明自己到達MATH1020的水平，就可以馬上選修多元微積分科目。儘管有這樣子的選擇，聽過的信息，不同學院還是不鼓勵同學做這樣子的學分轉移，希望同學起碼可以從大學一年級第二們微積分課開始重新學一次。可能是由於他們見到同學們「跳級」入到多元微積分科目時，數學的掌握其實沒有太好。所以儘管同學在中學時期已經曾經學過微積分，還是希望他們在入大學的初期重新把大學數學學一次，讓他們將來在其他數學科目掌握得更好。

由於剛開始在科大任教，學系還是會安排一個有教導過這門課的教授一起負責這門科目。由於他已經有多年的教學經驗，我們還是會運用他的課程大綱，上堂筆記和考試卷。課程大綱跟上面所講的一樣，大致上包含所有現在兩個學期微積分的內容。自己看過教材，也寫得非常好，由淺入深，甚至乎可以畫是環環相扣。看見前面篇章的一個例子，想來想去也不知道為什麼要講這些，原來這個例子的結果將會運用到後面的篇章。從迷朦一片到豁然開朗，才發覺教材是寫得如何精彩。自己也明白，要同學們在一個學期裏面掌握這麼多的東西基本上沒有太大可能，所以在教材的剪裁上面必須要花盡心思，不可以浪費太多時間在一些旁支和技巧上面，所有東西必須速戰速決。

由於學生人數眾多（整個課程可能有數百名學生），我們不可能每星期都批改作業。那個年代有沒有電腦軟件幫忙，沒有那一個被批評到體無完膚的webwork，所以我們都不可能規定同學每星期都繳交作業。所以，我們設立了一個自己比較少用的評分標準。儘管我們還是會有功課，可是功課所佔成績的比例為0%！我們跟同學說，你一定要做功課練習，你交的話我們會批改。當然如果我們這樣說，可以想像，沒有同學會遞交作業給我們批改。由於少了這些練習的機會，同學們在考試時的表現就真的「非常一般」。自己第一次教導這門課時，同學們兩次的總體成績平均分是36%。如果運用剛開始看到，在社交媒體上發表的成績標準，平均分也是F。可是我們從分數轉換成成績時，並不一定會用中學程度的方法，沒有50分（或者60分）就一定是「肥佬」。我們都會運用一些比較像水平參照的模式，跟以往歷練同學的水平比較。如果某一年我們考試題目難道較高，在今年得到同樣分數的同學還是有機會拿到一個比以往同學更好的成績。所以我們一般都很難在開學的時候明確的指出同學們到達那一個分數將會合格，那一個分數一定不合格。

自己沒有一個充分的統計，可是自己以往教授的科目，有可能曾經試過整體總分10%已經有機會合格。當然同學們對於killer的定義不一定是根據合格分數，也有可能會參考整體平均分數如何轉換成最終成績外定義。所以也有聽過同學們說，那個那個killer只會給拿到平均成績的同學一個C-，等等。經過這麼多年，聽到那麼多故事，發覺根本不可能滿足所有同學的要求，很多時候只要過到自己那一關，能夠做到公平公正，其實就可以了。

最後返回上面剛開始時候的例子，自己覺得整體39.5%其實還可以，這麼多年的經驗看起來，也不覺得有什麼大驚小怪的地方。希望大家要明白，不一定所有教授都教得非常之好（始終對大部份教授來說，教學並不是他最擅長的地方），也不要覺得同學們的表現有如何的不濟（始終對大部份同學來說，他也不一定會有興趣成為數學教授）。考試和成績並不需要是大學生活的全部，在疫情下的大學生活，同學們更加需要努力發掘學術以外的學習經歷。