在美國讀書時碰到過很多不同的教授，這裏分享一下認識其中幾位的經過。


在UCLA的第一年的時候，因為收了很多不同的研究生課，所以，其實都比較認識學校裏面各位教授自己的研究課題。有一些是特別解釋老師研究的科目，也會有一些博士後講解自己以及他們指導教授的一些研究。裏面就有提到水平值計算（Level Set Method），Hamilton-Jacobi Equations的數值方法以及一些關於圖像處理的科目。而這些題目都跟現在我自己的研究多多少少有一點關係。


除了有博士後教的研究生課外，也有一些學系裏面教授所教導的科目。所以通過這些課，我們就有機會了解老師的研究題目和有機會親身接觸一些教授去認識他們的性格。記得Prof. Russel Caflisch 教過我3門有關線性代數計算方法的科目。他研究的題目不在這範疇裏面，所以基本上我們也知道在這幾門科目裏面沒有辦法接觸到在這研究範疇裏面最前瞻的課題。可是我比較喜歡他講課的風格。他準備得不是太多，可是你都可以看到他每一堂課都會準備一張小小的「貓紙」，讓自己記得那一堂課要講解的題目。雖然不太流暢，但是他會有自己的節奏。功課及考試都會是一些很特別的問題，我們都會需要花很多時間去把背後的思想弄清楚才有辦法辦理些問題解決。所以特別喜歡他教學。Russ的研究有好幾方面，他有一門科目就是去解釋自己的研究項目，裏面有提到一些關於金融數學和Monte Carlo Simulation的課題。可是自己對這方面沒有太大的興趣，所以雖然我非常喜歡他做事和與學生交流的方式，自己卻沒有太大的興趣跟他一起做研究。


雖然沒有找Russ作為自己博士研究的指導老師，可是我們還是有很多機會在不同的地方有合作。在2011年科大開始跟UCLA Institute of Applied and Pure Mathematics（IPAM）合作，舉辦了一個本科生暑期研究活動。每年有大約八名美國不同地方的本科生會跟我們科大找來的八名本地本科生，分成四組去做一些本地公司提供的本科生研究項目。而在舉辦那研究項目時，Russ就曾經是IPAM的主任（Director）。所以我們都會有很多不同的溝通，研究怎樣可以把我們的活動搞得更好。而在去年九月，自己也曾在波蘭的一個會議上碰到他。那時他已經從西岸搬到東岸，成為了NYU Courant Institute的主任。我們在會議上也談到那時在香港發生的事情，大家都分享了一些看法。不經不覺原來已經過了差不多一年，事情變化快得有點難以想像。


這個這麼有意義的本科生暑期研究項目，雖然在2018年因為不同原因而停止了。可是這個項目的運作模式，科大仍然繼續。這幾年我們跟南韓首爾大學數學系繼續舉辦這個項目。去年暑假我們就派了八名本地同學到韓國做了一些三星（Samsung）提供的研究項目。但今年的暑假，由於疫情的關係，我們就把這個計劃暫停了一年。希望明年有機會繼續舉辦，給我們的本科生同學有機會看一下外地的研究，也給外地的同學一個認識本地文化的機會。


另外一個不可不提的就是陳繁昌教授。自己到UCLA時，他已經從UCLA數學系升遷成為了學院的院長，基本上不會在數學系裏面任教任何科目。由於自己在修讀本科學位和碩士課程時，對修讀博士和學術界沒有太多認識，所以真的很不好意思，自己也是從在科大時系主任鄭紹遠教授的提及，才知道在UCLA裏面有一位很出色的香港教授。他做過數學系的系主任，也是前面提到的IPAM的發起者之一。他的研究也是相當的廣泛，從圖像處理，到計算機科學及一些水平值計算的應用，他都有所涉獵。由於他沒有教導任何研究生課程，所以自己其實對於Tony的接觸實在沒有太多。在UCLA那麼多年，好像只有一次參加過他跟自己研究生的每周例會。聽一下他研究生的演講，及他給予自己研究生的一些指導和意見。雖然沒有太多接觸，但是也可以從那一兩次的見面裏面看到他對研究的熱誠，以及對不同研究方法的掌握。在我畢業那一年，他也離開了UCLA，加入了美國NSF（National Science Foundation）作為Mathematical and Physical Sciences Directorate的副主任。到了2009年，我回來科大當助理教授，他也剛好回到香港成了科大第三位校長。


在科大前幾年，除了由於那一個跟IPAM合辦的本科生研究課程以外，也沒有太多跟Tony接觸的機會。關於研究的接觸，可能是要數到最近幾年，由於他也希望多認識一下關於數據科學的研究，找來了那時候剛加入科大的蔡劍鋒教授，我們幾個一起舉辦了一個月一次的討論班，分享了一下那研究方向的一些成果和題目。看看有沒有課題我們可以一起研究。在那兩三年裏面，自己得到的東西非常之多。當然也包括了在跟Tony一起研究過程裏面學習得到的知識和一起寫了幾篇文章。但是，最重要的是從了解到他對研究和追求新知識的熱誠，學習到如何成為一個學者。可能是由於在NSF的經驗，他可以很掌握每個研究方向發展的過程以及重要性。他人際關係的手腕非常好，跟什麼人都能成為朋友。不同會議裏面，他都會分享他以往在美國時的經歷和認識不同朋友的過程。他所說的都非常有趣。他有好幾次說以後退休會寫一本自傳，非常期待。在2018年，由於他離開了科大到了沙特阿拉伯作為King Abdullah University of Science and Technology（KAUST）的校長，我們的接觸也大大減少了。


至於自己的研究指導老師Prof. Stanley Osher，其實有在科大碰過面。在美國的第一年，也認識Stan做的研究課題。知道他是計算流體力學的專家。有很多計算方法也用他的名字命名。自己在科大碩士時做的研究，也見過他的名字。所以在學術界上面Stan是非常有名的。記得在UCLA讀完第一年，暑假回到科大跟碩士時的指導老師許為厚教授作研究員，嘗試再把以前碩士時做的東西多做一下，看看有沒有一些研究成果出來（很可惜是沒有）。那個暑假，Stan剛巧也在科大訪問。所以找了一天，膽粗粗的，走到他辦公室裏面跟他聊天。跟他說我也是在UCLA的博士班。那當然，他完全不知道UCLA的學生有誰。所以聊了一會，也沒有太多話題，然後我就離開了。離開以前，他只是要我把名字寫在白板上，我猜想或許他之後就跟鄭紹遠教授或者許為厚教授問了一下我的背景說不定。由於對他做的研究方向很有興趣，所以那個暑假也特別找來了一些關於水平值計算的研究文章來看一下，看看到底是什麼一回事。


Stan的研究範圍非常廣，不單每隔幾年都會從一個研究方向轉到另外一個研究方向，而且每一個研究方向他都會有一個非常大的發現，對整個發展的方向會有重大而且深遠的影響和改變。前面提到他對計算流體力學研究的貢獻，之後，他已經跳到水平值計算方面。所謂水平值計算，是一個數值方法去代表一個運動中的介面。通過不同運動的模式，這個介面將會隨着時間的過去形狀而會有所不同。比如說，你在模擬一個氣泡在水裏面運動的過程，不可避免地需要有一個介面表示方法去代表着介面的位置。由於水流的關係，這些氣泡有可能將會幾個融合在一起，也有可能從一個大氣泡變成很多小的氣泡。所以介面表示方式就必須要能夠簡單而且容易地去改變他的狀態。這個研究方向，亦都慢慢從流體力學那方面，發現到很多不同的應用。而自己的一個主要研究方向，正正是運動中介面計算的方式。在我唸博士班時， Stan都從水平值方法的應用，跳到圖像處理的研究方面。那時候，他剛剛發現到一個辦法解決自己以前圖像處理方法裏面的一個問題。他設計的ROF （Rudin-Osher-Fatemi）方法應用在圖像去除噪音的問題試後，會發現圖像裏面有部份資訊會同一時間被消除。所以在去除噪音後，除了噪音亦有某一部份圖像的訊息會不見了。那個時候剛巧他從一個優化問題的解答裏面發現了解決自己問題的方法。我是清楚的看見，他是多麼的熱心跟學生研究學問，對研究亦都充滿無限的熱誠。我離開UCLA後，他又再重從圖像處理的應用跳到去數據科學計算方法的研究方向上面。以他70多歲的年紀，可以說他對研究仍是非常的熱衷，我是衷心非常的佩服。


在科大碰到Stan的那個暑假後，我返回UCLA再發電郵，跟他說有興趣參加他跟自己學生的每周討論班，他也一口答應。所以之後每一個禮拜我都會在他的討論班出現，聽一下他跟學生做的研究課題。學生亦會輪流在他的討論會上分享自己研究的成果。有些時候他有其他大學來的訪客，也會在他的討論班上分享一些最新的研究成果。我覺得自己也是因為這些經歷，從他身上學習到指導學生的技巧和方法。


自己第一個研究課題，亦是Stan提出的。他那時跟機械工程系的教授有一些合作課題。希望想用水平值的方法幫助他們計算裂痕在物料表面移動的軌跡。假設有一件物件，因為外來壓力的影響而破裂，因為這個外在壓力的關係物料表面會因而繼續裂開。研究的課題，就是在看不同壓力下面，裂痕在物料軌跡的改變。聽起來好像非常學術，不知在現實生活有什麼實質應用。可是，後來聽見他有其他的合作者，將這技術應用在迪士尼動畫上面。不知大家有沒有看過一套動畫叫「Bolt」（中文譯做超級零零狗）。故事裏面有一隻被困在玻璃球的倉鼠，在動畫差不多完結時，這個玻璃球因為被撞擊而破裂。動畫用到很多的數學技術去模擬在玻璃球表面上裂痕增長的軌跡。電影差不多1秒的時間，可是後面其實花了很多研究的時間。由於自己沒有太多對材料物理無意的背景，機械工程的合作姐可能覺得我可以貢獻的地方也不多，所以合作也沒有太熱衷。


然後另外一個Stan給我的安排，是希望我到UC Irvine跟Prof. John Lowengrub學習，看看有沒有可以一起研究的題目。沒有錯，其實我在修讀博士的時候已經跟Irvine的教授有一些合作的機會。還記得那時候其實在Irvine花了一個星期的時間去跟John和他的學生一起討論問題。過程非常開心。那個時候他給我介紹了一個他們設計用adaptive mesh的方法計算多相流（multiphase flow）的問題。自己猜想可能Stan希望我也可以學學這些方法加入到水平值計算裏面去。這些問題跟自己研究興趣比較接近，所以也花了一點時間去學習不同adaptive mesh方法。雖然最後沒有在那一星期的時間把John的方法學過來，可是自己就用了另外一類型方法加入了水平值方法的計算，然後應用在晶體生長模擬裏面。文章雖然一直沒有發表出來，但是自己也覺得是不錯的練習。至於後來我在UC Irvine做博士後的時候跟John的合作，以後有機會再仔細解釋。


反而在博士研究的時間，花了最多時間和Stan的那時候的一個博士後Prof. Jianliang Qian一起做研究。所以如果看研究成果，Jianliang也可以說是我半個指導老師。那個時候其實他提議我一起做一些關於高頻波（High Frequency Wave Propagation）計算的問題。裏面亦都用了一些水平值計算。由於自己對這研究方向就蠻有興趣，而Stan亦沒有太大的反對，所以我們就一起做了好幾篇關於高頻波計算的文章。然後我就提議不如我們做一些相關的反問題。由於我們有一些很好的前向問題計算方法，在解決返問題是就能有很有效率的解決辦法。以探石油為例子，如果地底下面的土壤結構是已知的，我們就可以在計算區域內找到所有的聲音傳播速度。所以正向問題的例子，就是說重計算邊界的一點聲音傳播到另外一點的時間是什麼。而相對應的反問題，就是問，我們可不可以從這些聲音傳播的時間找出區域內每一點聲音傳播的速度。


由於這幾篇反問題的文章，亦令到我有機會第一次到侯斯頓參加一個地質學的學術會議。因為舉辦會議的組織是Society of Exploration Geophysicists（SEG），我譯作勘探地球物理學家協會，這個經歷讓我看見不同研究領域的人一些不一樣的研究方式。他們大部份所做的例子，都是從真實探油的數據所獲得，而我們做的例子大部份都是一些很簡單自己做出來的數據。所以看起來，我們做的研究就好像玩具模型一樣，看起來非常簡單。而他們所做的，就是一些實際應用上面得到的例子，對人類生活可能有更重要的影響。可是對我而言，研究的目的是去建立一些新的知識，重點並不一定在於測試是數據是否充滿噪音，或者是否從實際生活上拿過來。後來Jianliang跟我仍然繼續設計不同關於高頻波計算的方法，也做了好幾篇有意思的研究論文應用到波方程（Wave Equation）以外譬如薛定諤方程式（Schrödinger Equation）的計算方式。這些都對我日後的研究方向有很大的影響。


前面提到好幾次我跟UC Irvine的淵源，那時候博士課程畢業在找博士後的時候，剛巧UC Irvine的Prof. Hongkai Zhao在找博士後。他是2007年第七屆馮康數學獎的得主（同年的得獎者也有科大現今數學系系主任王筱平教授），是一個非常出色的數學家。


他從UCLA拿到博士學位，然後先到史丹福大學博士後，然後就到了UC Irvine開始他的學術生涯。他自己做的研究也是UCLA的流派。基本上也是跟水平值和Hamilton-Jacobi Equations相關。那時候他有一個想法，希望設計一個水平值計算方法以外解決多相流計算問題的方法。由於自己研究方向的經驗，他就希望我到UC Irvine作為他的博士後一起研究這個課題。由於也是在加州，對於那地方非常熟習而且很喜歡他的氣候。所以收到他的邀請，也差不多馬上的「嘍飯應」。可能由於他也是長時間逗留在加州，他指導學生的方式也是非常的輕鬆，所以其實自己非常感謝Hongkai的信任，沒有要求我每天到辦公室回報自己研究的進展。自己發覺這個可能是比較像是西岸的研究方式。大家都用一個朋友的相處模式，沒有給予研究非常大的壓力。當然可能亦由於大家互相信任，覺得時間都不會全部——就是說，有一些時間——花在沙灘上（無論是UCLA或者UC Irvine，距離海邊也沒有太遠）或者旅行上（不要忘記環球片場跟迪士尼就在兩間學校相距不遠的地方），覺得都會有足夠的時間做自己的研究工作。所以那三年在Irvine的時間，也做出了好幾個自己覺得不錯的結果。其中有一個就是跟John合作的問題，我們用那一個和Hongkai設計出來的多相流計算方法，去解決了一些在運動中介面上的數學方程。


而最後，也在加州留了差不多八年的時間，因為不同的機會，就回到香港科大。