有一個可能是最重要的題目，到現在還沒有提及。寫了這麼久，到底什麼是「數學」？什麼是「純數學」？什麼是「應用數學」？到底如何定義一個研究範疇是否屬於數學或者是數學裏面那一個研究題目呢？

上一個月，學系舉辦了一個介紹會，介紹一下如何申請研究生課程，有什麼要注意的地方，同學如何準備自己，可以令到自己有更大機會被一些研究生課程取錄。我負責的其中一個部份，是需要解釋一下如何做應用數學方面的研究。看了一下節目程序，有另外一位做純數學研究的同事負責講解如何做純數學研究的部份。那我們學系裏面統計方面的研究，數據科學的研究，金融數學方面的研究等等呢？又好像沒有其他學系裏面的教授來介紹一下他們的研究方向。所以我猜想，節目安排時，其實是希望我講解一下「非純數學的研究」而並不是真的講「應用數學的研究」。所以這就非常困難了，我首先必須要指出何謂「數學」，再講一下如何定義「純數學」，那樣，剩下來的部份就應該其實是節目希望我介紹的東西。

把所有非「純數學」的部份都放在「應用數學」雖然不盡錯誤，但只是好像不太準確。但有疑惑的地方是在哪裏呢？自己又好像沒有很清楚的馬上可以說出來。所以希望趁這個機會盡量整理一下自己的想法，看看有沒有辦法從以往自己的經歷裏面找出一個自己覺得合理的定義。

不單是困難，這也是一個非常危險的題目。因為無論我如何努力解釋，可能還是沒有辦法取得所有數學界同事的認同。我就從來沒有看過那個地方會有一門叫做「什麼是數學」的課程。始終每個人對數學的理解有點不一樣。我所認識的數學，和你看見的可能也有不同。所以如果我們希望對一些研究範疇作出仔細的定義，很有可能就會招來不必要的爭論。我們說，「你並不是在研究這個範疇」，他就說，「我是這個範疇的專家」。

當然每個人對自己研究範疇的理解都可能和其他人不一樣。我們介紹微積分，提及牛頓，介紹距離，速度，加速率等等的概念，同學就會覺得這其實是物理的問題。教授微分方程，提及鐘擺的數學模型，同學又會覺得這個是物理的理論，跟數學無關。教圖像處理，同學又會覺得是計算機科學的東西，不應該在數學系有課程教授。但作為一個數學家，無論看見問題是如何包裝，我們其實還是可以用自己的眼睛，看到範疇裏面自己喜愛的部份，把它當成一個數學問題。自己有一些研究也是嘗試解決量子物理學裏面的方程式。當然方程式本身有很多粒子物理上邊的應用，但是在我眼內，其實都是一個偏微分方程的計算問題。

同樣的例子，在其他研究範疇也是常出現。就講一個跟物理學相關的例子。最近我們跟恆隆地產所合辦的恆隆數學獎正在設計一個新的獎座。其中用到一個黑洞的設計。裏面提到一個數學的概念，把一些聽起來好像非常物理的理論，跟數學連繫起來。我們希望把一些「非傳統」的數學概念介紹給一些對數學非常有熱誠的同學。我們找來粒子物理學家，科大高等研究院院長，代理理學院院長Prof. Andrew Cohen寫了一段英文的介紹，再交給一位在物理系研究宇宙學的學者作中文翻譯。他們兩個就對這套理論有着不同的理解。

雖然很困難，但是在很多行政工作上，如果我們沒有對一個研究範疇有一些比較仔細的定義，有時也很難具體執行某些政策。例如每個學系在招聘新教授時，也會希望新同事可以幫助學系在某個範疇的發展。可能是一些學系本身欠缺的研究方向，也可能是希望找一些年輕的教授發展一些熱門的研究課題。如果我們沒法確定我個學者所研究的範疇，我們很難可以請到一個我們希望聘請的教授。

最簡單解釋什麼是「應用數學」的方法，就是採取一個包容性最強的定義。有些時候，我會把所有有一點「數學」但並不是他們心中所想的「純數學」的東西，都放到「應用數學」這個範疇裏面。就好像上面的例子，一些同事們也會把所有非「純數學」的東西都撥歸「應用數學」。這幾年都幫忙帶領同學做他們在應用數學範疇內的Capstone Projects，就是用一個學期時間做一個應用數學的項目。在第一節課，我都會跟他們說，我不會理會他們以往修讀過什麼數學的課程，可是在他們的項目內，我們會看看他可以展示了他們多少應用數學或計算數學相關的技巧。我都會讓同學們自己決定題目，然後看看他們的方向給予相關的意見。同學們對「應用數學」或者是「計算數學」的定義也都會比較疑惑。最常聽見的問題，就是問這樣這樣是否可以，這樣這樣是否屬於應用數學。對於如何定義「應用數學」或者是「計算數學」，我都沒有給予一個固定的答案。我都會採用一個非常廣闊的定義。只要他們的項目裏面，有「應用」一些「數學」去解決或者去研究一個問題，我都一律接受。所以很多時候，同學們都會選取一些看起來比較簡單的題目，好像是一些遊戲策略的研究或者是一些概率計算的問題。自己覺得，如果同學們可以選取一個他們有興趣的方向入手，無論結果如何，他們都會覺得「應用數學」這個學科對他們還是有一點點關係。這樣，同學們也會對數學系整個課程設計的印象都會有正面影響。

這個定義其實有一點問題。有一些同學會覺得，「哦這樣子，我可以找一些數據來研究。比如說看看股票走勢，運用統計的方法看看是否能找出一點規律。」他們都會嘗試用一些統計上的工具做Regression和不同的Hypothesis Testing。由於問題本身，是一個日常生活應用的例子，而且裏面亦都看見一些數字，他們就會覺得這樣就可以了。可是，我就會覺得這樣子就太像一個統計學系的Capstone，這樣就違背了我們把不同背景的同學分開做Capstone的原意。

同樣的項目，如果同學運用的是另外一些工具，我還是容許同學設計一些方法去「炒股票」。譬如說以往也有一些同學運用大數據工具，使用人工智能等等的技術去看看股票的走勢。這些工具，在我們應用數學的Capstone裏面我還是非常鼓勵的。同學可以嘗試一下這些新技術，如果同學對這些新知識有興趣，可能也會對他們畢業後的工作有一點的幫助。而且，同學們並不可以直接把以往的數據放到軟件內，更重要的，他們還要仔細探討這些技術是否能真的增加股票投資的回報。這個要求就跟一般數據科學的研究項目有所不同。我們着重的並不是（不只是）工具是否能夠應用到這個項目上，還要求同學作出一個小心的研究，看一下這個方法是否有它的好處和對實質應用有所幫助。這其實就是一個「數學建模」的過程，這樣就符合了我們所期待的「應用數學」了。

另外一個例子，我們也容許同學運用一些隨機的方法去估算一些應用問題的答案。譬如說同學們嘗試設計遊戲的策略，因應着遊戲內一些隨機的變化，我們會建議同學使用一些譬如Monte Carlo的計算，去比較不同策略對遊戲結果的影響。雖然這些聽起來都比較像是統計學內一些概率的計算，但是這也是在「計算數學」裏面的一些計算方法。譬如說在分子動力學（Molecular Dynamic Simulations）裏面，我會嘗試模擬粒子的運動，去解釋不同的物理，化學或者是生物學上面的現象。例如看看粒子如何因着能量不同而隨機運動，看看如何定義液態和固態。又可以看看化學反應如何產生，看看DNA是如何因着催化劑而自我複製等等。所以，同學們如果可以掌握這套技術，也可以幫助他們理解在日常生活上遇到種種的隨機現象。

上面所說的，雖然只是我在一門本科生課程內的想法，在研究上面，這套包容性最廣泛的定義還是有一點點不適用。很多時候有些教授做的研究題目聽起來非常「應用」，好像對日常生活非常重要（我這裏不是說他毫無用處）。可是研究的方法，他中心的工具，並不太應該歸納到應用數學。舉一個例子，自己有一個研究課題，是希望解決一些反問題。通過高頻波由起點到終點的所需時間，問題希望找出聲音在不同地方的速度。根據這些不同地方的速度，我們就可以知道媒介的結構。實質應用可能是石油探索，又或者是地質結構的研究。如果只聽見這個「應用」，絕對可以定義這個是一個「應用數學」的問題。自己所研究的課題，是希望找出一個計算辦法，容許我們有一個快速而有效的方法，把這個速度場找出來。可是同一個問題，在我們數學系卻有一位純數學家運用微分幾何的方法嘗試證明這個反問題是否存在一個解，而如果答案是正面的，這個解答是否唯一的呢？這些都是純數學家想問的問題。

上面提到的圖像處理問題，不單在數學係有一個本科生的課程，在計算機科學和電子工程學系各有一個有一個相關的課程。如果我們只聽見「圖像處理」，就把它歸納到「應用數學」，這樣我們是否會把不同的工程也一併歸納入「應用數學」？另外一個例子，密碼學在日常生活有着大量的應用，聽起來就像是一門「應用數學」。但是，從訊息傳送到訊息修正，裏面應用到大量數論的理論，那他是「純數學」還是「應用數學」？我們說密碼學是「純數學」，是由於他所運用的技巧都是在數論裏面的知識。我們說密碼學是「應用數學」，是由於研究人員運用數論裏面的定理，解決了日常生活裏面的一些問題。所以我們去分辨不同種類的數學，並不應該從「研究題目」或者「研究方向」本身決定，而是應該要多看一下研究裏面所問的中心問題，和解決這個問題時所運用的技巧。

這個學期也教了一門研究生課程，內容是設計數值方法解決偏微分方程問題。在第一節課以前，看見報名同學來自不同學系，當然有數學系的同學，但是也有不同的工程學系的研究生。可能是土木工程，也可能是機械工程。而且裏面亦有一些是來自環境科學的跨學科課程的研究生。由於他們自己本身的研究，有需要依賴一些偏微分方程的計算，所以他們對這門課還是有一點點興趣。可以想像，在他們畢業論文裏面，應該都會有一些運用電腦解決數學方程式的研究結果。雖然這樣，但是我還是暫時不會把他們歸納入「應用數學」的研究學者。以我看來，暫時他們所看重的還是了解不同數值方法，看看如何把它們用在自己的研究上面。他們現在研究的中心思想，並不是嘗試設計新的數值方法去解決一些工程上面的問題，而是希望把方法放到問題上面，看看是否馬上就把研究問題解決。當然，將來他們仍然有可能「跳入」應用數學的範疇，運用他們一直以來的研究經歷，反過來影響應用數學的研究方向。

一個研究學者可以在不同的研究範疇遊走的例子並不罕見。我們數學系內也有不少教授博士學位並不是由數學系取得，有物理系的或者土木工程的。可是我們並不應該，也沒有辦法根據他博士學位去定義他是否一個數學家。我們科大上一任校長陳繁昌教授就是一個很好的例子。他的博士是史丹福大學的計算機科學學位，後來到了UCLA的數學系成為教授。他做的研究是線性問題的數值方法和圖像處理問題。這些都是計算數學裏面非常重要的中心問題。在科大當校長的時候，他就同時是數學系及計算機科學系的教授。有些他做的問題都是運用數學的工具解決一些應用問題，有些時候他做的研究方向就是一個計算機科學的問題。我們數學系現任系主任，所念的博士學位是天文學的，現在就同一時間是數學系和機械及航空航天工程學系（Mechanical and Aerospace Engineering）的講座教授（Chair Professor）。他做的問題是計算流體力學，他有的研究是設計一些計算方法解決流體力學的方程式（這部份就是數學系所做的研究），另外一些研究希望把這些計算方法應用到真實的飛行工具上面（這些就是工程方面的研究）。

如果我們需要仔細看他研究方法才能定義他所做的是否數學，去決定他是否一個數學家，實際執行上也非常困難。始終所謂研究，就是去發掘一些其他人沒有想過沒有做過的問題。要清晰地把其他人所做的研究（甚至只是研究方法）搞明白，有需要花很多時間。有些聽起來好像有一點道理的方法，但仔想來也不太有用。有些人會提議，如果看一下他研究成果投到那一些研究期刊，從期刊的類型我們也可能可以猜想一下他做的問題是否數學問題，用的是否應用數學研究的方法，從而決定他是否一個數學家。其實每個研究範疇，都有一些專門的研究期刊。有幾個期刊我自己比較想投稿，例如SIAM Journal on Scientific Computing (SISC), Journal of Computational Physics (JCP)和Journal of Scientific Computing (JSC)。題目裏面可能都只會知道和計算有關。如果看見JCP就說他是一份物理的期刊，而不清楚他其實是計算數學裏面一份高水平的雜誌，這就有點不公平了。研究期刊就跟研究範疇差不多，同一個題目其實也可以有不同的研究人員在上面發表文章。以JCP為例，如果投稿的文章裏面含有計算技巧應用到物理問題上面，其實就已經符合期刊的期望。裏面的題目和數學的研究工具包羅萬有，由計算流體力學（Computational Fluid Dynamics）到網絡流理論（Network Flow Theory），從有限差分法（Finite Difference Method）有限元法（Finite Element Method）到深度神經網絡（Deep Neural Network）。全部都可以是熱門的應用數學問題。

所以外人去評論一個人所做的研究範疇是否屬於數學，他是否一個數學家，其實有點困難和有點危險。我從來不會質疑其他同事是否在做數學的研究，到底他所做的數學是純數學方面的，還是應用數學多一點。最好的辦法，還是讓他自己定義自己是否一個數學家。回想起很多年前，還在做博士後（PostDoc）的時候，到了美國另外一間大學「見工」。跟數學系每一位同事聊天，多一點認識那所大學的數學系和大學的環境，也讓有機會成為同事的教授認識自己。記得其中一位教授問到，「聽你的研究報告，好像包括了好些不同的問題，那你覺得自己做的是應用數學方面的問題還是計算數學的研究呢？」以往所做的研究，不是指導教授所提議的，就是一些自己可能比較感興趣的問題。從來沒有想過自己做的範疇應該歸納到應用數學還是計算數學。他這樣子一問，自己也頓了一下。想了一下，也只能說自己做的有些問題是比較應用，有另外一些問題可能包含多一點計算數學的成份。現在回想起來，那位教授可能就是在使用最公平的辦法，將我的研究範疇放到他們學系裏面相對應的研究方向裏面去。